一种改进的正交求积分卡尔曼滤波算法

摘要：正交卡尔曼滤波在非线性滤波系统中是一种确定抽样算法，在正交规则下，更多的正交求积分方法被使用，以获得更准确的结果。然而，正交卡尔曼的计算复杂度随状态向量的维数呈指数形式增长，当正交点数量较大时，滤波效率较低。介绍了两种降低正交点的方法，两种方法被用于正交卡尔曼时，称之为改进的正交卡尔曼。该方法在大量的正交点状态估计下依旧可以获得精确的结果，而且效率更高，最后实验证明了该方法的有效性。

关键词关键词：正交卡尔曼；非线性滤波；确定抽样；状态估计

中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2016）004-0066-02

0引言

在噪声测量数据情况下，非线性随机系统的状态估计问题非常难以解决。许多研究者对此进行了深入研究。在一些文献中，提出了很多近似方法[1-6]。这些理想的非线性滤波方法可以分为两类：局部方法和全局方法。非线性滤波的局部方法包括扩展卡尔曼、无迹卡尔曼、均差滤波、正交卡尔曼；非线性滤波的全局方法[7-10]包括质点方法、粒子滤波。其中，扩展卡尔曼是基本的滤波方法，通过泰勒级数扩展非线性函数，只保持一阶或者二阶，再使用卡尔曼滤波解决非线性滤波问题。粒子滤波是一种新的理想非线性滤波，可解决非线性、非高斯问题。粒子滤波原则主要是通过使用大量的粒子近似后验分布得到状态向量。然而，粒子滤波的主要缺陷是计算繁琐。在粒子滤波中采用不当的选择函数将降低结果的准确性。

在正交法则中，很多正交点被滤波算法使用，也获得了精确的结果。在正交卡尔曼中，经常使用三点或五点正交，因为计算复杂度随状态向量维数的增加而增大，所以要选择适当的低点正交卡尔曼。系统的状态向量维数高时，采样点数量变大，计算负担增加。本文将考虑如何在大量的正交点下降低计算复杂度。受自适应粒子滤波启发，通过降低正交点来降低计算复杂度，本文给出了两种降低正交点的有效方法，使改进的正交卡尔曼滤波精度大大提高。

1非线性滤波问题描述

离散非线性高斯随机系统可以描述为：

xk=f（xk-1，uk1，k）+vk（1）

zk=h（xk，uk，k）+wk（2）

其中，xk∈Rn是状态向量，zk∈Rn是在离散时间k时的测量向量。式（1）是动力学方程，它描述系统从时间k-1到k的进化，式（2）是测量方程。f：Rn→Rn是状态转移函数，测量函数是h：Rn→Rn。如果一或两个函数是非线性的，则认为该系统是非线性系统，应该使用非线性滤波进行状态向量估计。uk代表线性输入，vk和wk代表过程噪声和测量噪声服从零均值高斯分布，协方差分别为Qk和Rk。与此同时，假设过程噪声和测量噪声，以及初始状态估计向量和噪音相互独立，非线性滤波对任何时刻所有的测量数据、初始状态矩阵和相对应的协方差都要进行状态估计。许多次优的滤波用来处理非线性滤波问题，因为确定抽样方法如无迹卡尔曼、正交卡尔曼计算复杂度较小。在本文中只考虑确定抽样方法，无迹卡尔曼非线性变换可以通过非线性变换实现。

2Gauss-Hermite正交方法

使用以下方程对积分函数g（x）和W（x）进行集成：

I（g）=∫baW（x）g（x）dx（3）

W（x）是加权函数，数值为正，其近似积分可以表示为：

I（g）≈∑ml=1ωlg（ζl）（4）

m是正交点数量，ζl是正交点，ωl是相应的权值。为了获得正交点和相关权重，其中的一个方法如式（4）、（5）所示。假设J是一个对角元素为零的对称三角对角矩阵，而且Ji，i+1=i/2，1≤i≤m-1。积分点可以由ζl=2εl进行计算，εl是J的第l个特征值；相应权值可由ωl=（vl）21进行计算，（vl）1是J第l个归一化特征向量的第一个元素。

如果状态向量的维数不止一维，也即是说p（x）=N（x，0，In），In是n×n维的单位矩阵。由于x的单个元素不相关，以上的一维公式扩展到多维求积公式，并将其应用于计算期望值：

E（g（x））=∫Rng（x）N（x，0，In）dx≈∑mln=1ωln…∑mln=1ωlng（εl1…εln）=∑mnl=1ωlg（εl）（5）

其中，εl=[εl1……εln]T，ωl=∏nj=1ωlj，基于以上积分点和权重，一个新的正交卡尔曼滤波方法由此产生。

3改进的正交卡尔曼

在正交卡尔曼中，精确度与积分点个数有关，积分点越多，精确度越高。然而，它的时间复杂度为O（nxm），n是积分点个数，xm是状态向量维数，意味着时间复杂度随积分点个数增加而迅速增加。事实上，积分点个数越大，权值越接近于0，说明积分点的作用非常小。因此，有必要计算大权值的积分点，而删除小权值的积分点，从而使参与滤波的点减少，计算复杂度也随之降低。在Gauss-Hermite正交方法中，许多点有较小的权值，对结果影响较小，本文使用两种方法将其删除来减少不必要的计算。第一种是使用直接阈值，阈值是被提前确定的，如果积分点的相关权值大于阈值则被保留，否则被丢弃；第二种方法是间接阈值。在该方法中，首先确定有效积分点，然后根据有效积分点的个数计算阈值。积分点个数可以被近似为：

Neffective=（∑Nsi=1（ωi）r）-1+1（6）

其中，Ns是积分点个数，ωi是相关权值，r是一个待确定的参数，称为压缩系数。通过实验可知，如果参数选择相同的值，两种方法都非常有效。以下为计算新积分点和权值的过程：①使用其中一种方法得到加权阈值ωth；②大于ωth的权值组成新的权重集{ωi}Neffectivei=1，Neffective是新积分点的个数；③获得相关积分点，组成一个新序列{ζi}Neffectivei=1；④新权值归一化。

值得注意的是，积分点和相关权值的计算过程是离线的。因此，改进的正交卡尔曼不需要花费额外时间。

时间更新步骤和测量更新步骤如下：①因式分解Pk-1|k-1=Pk-1|k-1（Pk-1|k-1）T；②通过Xl，k-1|k-1=Pk-1|k-1ζ1+k-1|k-1，l=1，…，m计算积分点；③通过X*l，k|k-1=f（Xl，k-1|k-1，uk-1，k-1）计算转移之后的积分点；④使用k|k-1=∑ml=1ωlXl，k|k-1估计预测状态；⑤使用Pk|k-1=∑ml=1ωlXl，k|k-1XTl，k|k-1-k|k-1Tk|k-1+Qk估计预测协方差；⑥对第一步进行因式分解Pk-1|k-1=Pk-1|k-1（Pk-1|k-1）T；⑦使用Xl，k|k-1=Pk-1|k-1（Pk-1|k-1）T计算积分点；⑧当Zl，k|k-1=h（Xl，k|k-1，uk，k）时，使用{Zl，k|k-1}ml=1计算转移之后的积分点；⑨使用k|k-1=∑ml=1ωlZl，k|k-1计算预测的测量值。

4结语

为了解决计算复杂性随着积分点增加而增加的问题，本文提出用两种方法减少积分点数量，使计算时间也随之下降。另外还提出一种改进的正交卡尔曼方法，该方法对于结果可起到很好的滤波作用。

参考文献参考文献：

[1]殷守林，刘天华，李航.基于模拟退火算法的卡尔曼滤波在室内定位中的应用研究[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2015（1）：86-90.

[2]刘天华，殷守林.一种改进的遗传卡尔曼算法在室内定位中的研究[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2015（2）：265-269.

[3]张卫荣，李航，殷守林.基于区间估计的最小二乘法在卡尔曼滤波中的应用研究[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2015（2）：284-287.

[4]SHOULINYIN，JIELIU，LINTENG.Anovelinitialvalueselectionfordiscretekalmanfilterusedinindoorlocalizationprocessing[J].JournalofComputationalInformationSystems，2015，11（19）：7063-7070.

[5]JIELIU，SHOULINYIN，LINTENG.Anewunscentedkalmanfilterbasedonbayesianestimation[J].JournalofComputationalInformationSystems，2015，11（19）：7047-7054.

[6]JIELIU，SHOULINYIN.Improvedsquarerootunscentedkalmanbilateralfilteringusedforindoorpositioningsystem[J].ICICExpressLettersPartB：Applications，2015，6（12）：3205-3210.

[7]HANGLI，SHOULINYIN，LINTENG.Animprovedquadraturekalmanfilterbasedongauss-hermite[J].ICICExpressLettersPartB：Applications，2015，6（11）：3049-3054.

[8]TIANHUALIU，SHOULINYIN.AnimprovedunscentedkalmanfilterappliedintoGPSpositioningsystem[J].ICICExpressLettersPartB：Applications，2015，6（11）：2937-2942.

[9]温涛，盛国军，郭权，等.基于改进粒子群算法的Web服务组合[J].计算机学报，2013（5）：1031-1046.

[10]王法胜，鲁明羽，赵清杰，等.粒子滤波算法[J].计算机学报，2014（8）：1679-1694.

（责任编辑：黄健）

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