求极限的一些特殊方法

摘要： 求极限的方法很多，本文阐述了求极限的几种特殊方法，并且举例进行说明.

关键词： 极限收敛性泰勒展开式

1.利用定积分求和式的极限

利用定积分求和式的极限时，首先选好恰当的可积函数f（x），把所求极限的和式表示成f（x）在某区间［a，b］上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.

例1:■［■+■+■+…+■］

解：■+■+■+…+■

=■［■+■+…+■］

可取函数f（x）=■区间为［a，b］，上述和式恰好是f（x）=■在［0，1］上n等分的积分和.

所以■［■+■+■…+■］

=■■［■+■+…+■］

=?蘩■■■dx

=■

2.利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数■μ■收敛，则μ■→0（n→∞）.运用这个方法首先判定级数■μ■收敛，然后求出它的通项的极限.

例2：求■■

解：设a■=■，则■■=■■·■=■■·（1+■）■=0＜1.

由比值判别法知■a■收敛，由必要条件知■■=0.

3.利用泰勒公式求极限

例3：求

■■=■■=-■-■+■+0（x■）

解：本题可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，这里用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x■，用麦克劳林公式表示极限的分子，取（n=4）cosx=1-■+■+0（x■）；e■=1-■+■+0（x■）

cosx-e■=-■+0（x■）

因而求得■■=■■=-■

4.利用迫敛性求极限

设■f（x）=■（x）=A，且在某u■（x■，δ′）内有f（x）≤h（x）≤g（x），则■h（x）=A.

例4：求■x［■］的极限

解.∵1≤x［■］＜1-x，且■（1-x）=1

由迫敛性知

■x［■］=1

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须收敛于同一个极限.

5.小结

从上述介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地套用某种方法，对具体题目要注意观察，灵活运用恰当的方法，有时还可多种方法结合使用.

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2001：119-121.

［2］华东师范大学.数学分析习题解析［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2004：87-91.

［3］钱吉林.数学分析题解精粹［M］.武汉：崇文书局，2003：61-83.

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