一道曲线积分的一题多解

摘 要：曲线积分是高等数学课程的重要内容之一，本文就期末试题中一道第二类曲线积分的求解为例，给出了几种常用的解法，从而使学生能够熟练掌握计算第二类曲线积分的方法，并开阔了学生的视野，激发学生学习数学课程的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：曲线积分；格林公式；路径无关

曲线积分是高等数学课程的重要内容，它在实际工程中有广泛的应用，我们在教学时主要强调了曲线积分的计算方法，常见的方法有利用曲线的参数方程化为定积分来求解，或者直接化为对变量 或 的积分来计算，如果积分表达式满足一定的条件还可以利用积分与路径无关来求解。上学期工科微积分期末试题中有这样一道曲线积分题，下面给出这道题目的几种常见解法。

例：计算曲线积分 ，其中 为曲线 从点 到 的一段弧。

解法1：（利用积分与路径无关，重新选择简单的积分路径）

因為 且有

故曲线积分与路径无关，取新路径 此时 对应的方程为 ，

。

解法2：（Green公式）添加直线段 ，则 与 组成封闭的曲线，由格林公式可得

所以

。

解法3：（利用积分与路径无关，找出全微分来求解）

因为 ，且

故

。

解法4：（利用曲线的参数方程，将曲线积分化为定积分求解）

由于 是上半圆周，故可取 的参数方程

故

解法5：（直接化为定积分来求解）

由于 ，则 .

因为 ，所以令 ，

当

则

参考文献

[1] 同济大学.高等数学下册[M]，第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]，第4版，北京：高等教育出版社，2014.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]，第2版.北京：高等教育出版社，2010.

作者简介

欧阳庚旭（1980—），硕士，上海电机学院教师。

（作者单位：上海电机学院文理教学部）

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