基于摄动法的裂纹梁振动模态研究

摘要：为评估裂纹损伤发生的位置及损伤程度，基于改进的裂纹损伤模型，应用摄动法研究裂纹梁的振动模态变化特性.建立由一阶和二阶摄动量表示的Euler-Bernoulli裂纹梁振动特征方程，推导出裂纹梁振动特征值和模态振型的一阶和二阶摄动解析表达式，并通过与损伤悬臂梁实验结果对比，验证该方法的可靠性.

关键词：裂纹识别； 摄动法； 模态分析； 固有频率

中图分类号：O346.1； O322；TB123 文献标志码：A

Modal analysis of cracked beam based on perturbation method

LIU Long1, DONG Dashan1, MENG Guang2

(1. Logistics Engineering College, Shanghai Maritime Univ., Shanghai 201306, China;

2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong Univ., Shanghai 200240, China)

Abstract： In order to evaluate crack damage position and damage severity，the perturbation method is used to study modal characteristics of the cracked beam on the basis of modified crack model. The Euler-Bernoulli vibration characteristic equation of the cracked beam expressed by the first-order and second-order perturbation is established. The vibration eigenvalue and the first-order and second-order perturbation analytic expression of the mode shape of the cracked beam are deduced. The reliability of this method is proved by comparing the calculation results with the experimental results of the damaged cantilever beam.

Key words： crack identification; perturbation method; modal analysis; natural frequency

0 引 言

裂纹是结构中很普遍的损伤类型，初始微小裂纹一般很难被发现，但裂纹扩展往往会导致结构断裂，发生灾难性的事故.［1］如何判断结构是否出现裂纹、如何及时评估裂纹发生位置及程度，一直是工程上的难题.梁结构在工程中很常见，从理论上分析裂纹损伤对梁结构动力学特性的影响十分必要，近年来国内外学者已经进行深入研究.

模态摄动理论［2］主要研究结构参数在发生小变化后，振动模态参数的变化趋势和规律，是进行结构动态分析、优化设计及灵敏度分析的有力工具.GUDMUNDSON［3］应用摄动法分析裂纹、缺口和其他类型缺陷对结构特征值的影响.LUO等［4］以一阶摄动法描述裂纹梁振动模态的动力学变化特性；LESTARI［5］根据δ函数的性质，给出二阶摄动量表示的损伤梁模态参数表达式；SHARMA等［6］进一步研究损伤板结构的固有频率、模态振型和曲率模态等的变化特性.潘旦光等［7］应用模态摄动法求解局部裂纹梁动力特性，在无裂纹梁的模态子空间内将局部裂纹梁的微分方程求解转化为代数方程求解.毛耀武等［8］推导压电杆压屈临界载荷(分岔点)和后屈曲路径.

本文应用摄动法研究裂纹梁的振动模态特性.首先提出Euler-Bernoulli梁裂纹损伤改进模型，建立由一阶和二阶摄动表示的裂纹梁振动模态特征方程；并推导出Euler-Bernoulli损伤梁振动模态的一阶和二阶摄动解析表达式；最后通过损伤悬臂梁实验结果验证该方法的精度.

1 基于摄动法的裂纹梁振动方程

1.1 Euler-Bernoulli梁振动方程

对于无阻尼等截面的Euler-Bernoulli梁，其自由振动方程可表示为2x2EI(x)2x2［W(x,t)］+m(x)2t2［W(x,t)］=0(1)式中：E为梁的弹性模量；I(x)为截面惯性矩分布函数；m(x)为梁的质量分布函数；W(x,t)为以梁位置和时间为参数的函数.

根据分离变量法，设式(1)的通解为W(x,t)=φ(x)ejλt (2)则式(1)可写为

d2dx2EI(x)d2dx2(φi(x))－m(x)λi(φi(x))=0(3)

式中：λi和φi分别表示梁的第i阶特征值和模态振型.

同时，上述参数还满足正交性条件，即kij=∫Ωφi(x)d2dx2EI(x)2x2(φj(x))dΩ=λiδij

mij=∫Ωφi(x)m(x)φj(x)dΩ=δij(4)1.2 Euler-Bernoulli梁裂纹损伤模型

损伤模型要考虑由损伤引起的结构刚度和质量的变化.为简化计算，首先作如下假设：(1）梁横向振动时裂纹是张开的，不考虑裂纹一张一合的情况；(2）结构损伤由刚度的下降表示；(3）损伤的发生不影响结构的稳定，边界条件保持不变.即损伤仅仅引起结构特征值和振型的小变化，损伤结构的特征值和振型可表示为无损结构特征值和振型的线性集图1 裂纹梁示意图合；(4）考虑损伤较小的情况，裂纹宽度相对梁长度很小，且忽略由裂纹引起的梁中心线的变化.

图1为裂纹梁示意图.梁长、宽、高分别为l，b，h，裂纹距梁左端xd，宽度为Δl，深度为hd.

裂纹损伤处截面惯性矩为Id=b(h－hd)3/12=I0(1－hd/h)3(5)式中：I0为无损梁截面惯性矩.设损伤程度ε=hd/h，则式(5)可写为Id=I0(1－ε)3=I0(1－3ε+3ε2－ε3)(6)式(6)中出现三次方项，计算复杂.一般只考虑ε的一次项，即简化为Id≈Id1=I0(1－3ε)(7)LESTARI［5］引入ε的二次方项，将式(6)简化为Id≈Id2=I0(1－3ε+3ε2)(8)但通过计算发现，随着ε的增大，Id1和Id2曲线的误差逐渐增大.为了进一步提高计算精度，尝试寻找最优的损伤惯性矩拟合式Id3=I0(1－3ε+kε2)(9)这样，问题就转化为求因数k值的优化问题，即

 min f(k)=Id－Id3=I0(3－k－ε)ε2(10)

由于只考虑损伤较小的情况，设ε的取值范围为0≤ε≤0.8.利用最小二乘法计算得k=2.3，即Id3=I0(1－3ε+2.3ε2)(11)图2为取I0=1时，式(6)~（8）和(10)的计算示意图.从图中可以看出，Id3与Id最为接近，误差平方和仅为0.087，所以采用式(11)计算，既简化计算

过程，又能保证较高的计算精度.

同理，损伤截面处的质量md=m0(1－hd/h)=m0(1－ε)(12)由于只在极小区域内发生裂纹损伤，引入Heaviside函数

H(x)=1x≥0

0x<0 δ(x)=dH(x)/dx(13)

则沿整个梁长度上截面惯性矩函数 Id(x)=I0(1－(3ε－2ε2)(H(x－xd)－H(x－xd－Δl)))=I0(1－(3ε－2ε2)Δl•δ(x－xd))(14)

同理，梁质量函数md(x)=m0(1－εΔl•δ(x－xd))(15)1.3 裂纹梁振动方程摄动表达式

将式(14)和(15)代入式(3)，就可得到裂纹梁的振动方程：d2dx2EI0(1－(3ε－2.3ε2)Δl•δ(x－xd))d2dx2φi(x)－λim0(1－εΔl•δ(x－xd))φi(x)=0(16)假定损伤梁特征值和模态振型是无损梁的一个微小扰动，根据摄动理论，损伤梁的特征值和模态振型可以表示为λi=λ0i－ελ1i－ε2λ2i－0(ε3)

φi=φ0i－εφ1i－ε2φ2i－0(ε3)(17)式中：λ0i和φ0i分别为无损梁的特征值和模态振型；λ1i，φ1i和λ2i，φ2i分别为裂纹梁特征值和模态振型的一阶和二阶摄动.

将式(17)代入式(16)后得d2dx2EI0(1－(3ε－2.3ε2)Δl•δ(x－xd))d2dx2(φ0i－εφ1i－ε2φ2i)－

(λ0i－ελ1i－ε2λ2i)m0(1－εΔl•δ(x－xd))(φ0i－εφ1i－ε2φ2i)=0(18)将此式展开，比较ε同次幂的系数可得

ε0: EI0d4dx4(φ0i(x))－λ0im0(φ0i(x))=0(19)

ε1: EI0d4dx4(φ1i(x))－m0λ0iφ1i(x)－m0λ0iΔl•δ(x－xd)φ0i(x)+

3EI0Δld2dx2δ(x－xd)d2dx2(φ0i(x))－m0λ1iφ0i(x)=0(20)

ε2: EI0d4dx4(φ2i(x))－m0λ0iφ2i(x)－3EI0Δld2dx2δ(x－xd)d2dx2(φ1i(x))+m0λ0iΔl•δ(x－xd)φ1i(x)－

2.3EI0Δld2dx2δ(x－xd)d2dx2(φ0i(x))+m0λ1iφ1i(x)+m0λ1iΔl•δ(x－xd)φ0i(x)－m0λ2iφ0i(x)=0(21)

这样就得到由一阶和二阶摄动量表示的裂纹梁振动特征方程.下面推导裂纹梁的特征值和模态振型摄动法求解的一般计算公式.

2 裂纹梁特征方程摄动法求解

根据不同的边界条件，无损梁特征值和模态振型的一般形式为λ0i=EI0ζ4i/m0, φ0i(x)(22)对于摄动方程，如果直接对δ函数积分，不仅计算量较大，结果也很复杂.本文采取隐式解法，即将方程结果表示为傅里叶函数级数形式计算.

2.1 裂纹梁特征方程的一阶摄动法求解

设裂纹梁振型的一阶摄动量为φ1i(x)=Nk=1αikφ0k(x)(23)将上式代入式(20)，右乘以第j阶损伤前的模态振型φ0j，并在整个梁长度上x=0到x=l积分，按照正交性条件，展开合并后得αijλ0i(ζ4jζ4i－1)+3EI0Δl(φ0i(xd))″(φ0j(xd))″－λ1iδij－m0λ0iΔl•φ0i(xd)φ0j(xd)=0(24)当i=j时，λ1i=m0λ0iΔl3ζ4i(φ0i(xd))″2－φ0i(xd)2(25)当i≠j时，αij=m0Δl3(φ0i(xd))″(φ0j(xd))″－ζ4iφ0i(xd)φ0j(xd)(ζ4i－ζ4j)(26)2.2 裂纹梁特征方程的二阶摄动法求解

设裂纹梁模态振型的二阶摄动量φ2i(x)=Nk=1βikφ0k(x)(27)将式(24)~(26)代入式(20)，右乘以第n阶模态振型φ0n，并沿整个梁长度上积分，根据正交性条件展开后得ζ4iβin(λ度/mmA1无损伤A21507A32003A42006

在损伤处切割出宽度为1 mm的槽用以模拟裂纹，槽的不同深度模拟不同的损伤程度.试件梁的损伤情况见表1.

3.2 实验设备

主要实验设备为：加速度传感器（B&K 4375 V）、力传感器（B&K 8200）、信号发生器、电荷放大器（B&K NEXUS I690）、数字扫频信号发生器（Digital Sweep Function Generator 8120）、东华应变测试系统DH-5937、激振器等.

悬臂梁试件使用台虎钳固定.在悬臂梁自由端处使用激振器进行激励，并安装传感器采集加速度信号和力信号.

3.3 数据分析

该实验还存在一定误差，如悬臂梁固定端边界条件与理论假设存在一定差距、安装传感器引入附加质量、测量噪声及刚度等，都会影响数据精确性.

为了提高计算精度，先对悬臂梁模型进行参数辨识［9］：选取固定端的转动刚度和移动刚度作为未知量，目标函数为无损梁的理论固有频率与实验所测频率之间的平方误差，即

min W(Kθ,KT,E)=α•(ωM－ωC)2(35)

式中：ωC和ωM分别为无损梁前三阶固有频率的计算值和测量值；α为各阶频率的加权值；Kθ和KT分别为悬臂梁固定端的转动刚度和移动刚度.通过遗传算法进行迭代，开始计算时取初值为α=(4.0,2.0,0.5)，个体数目取800，最大迭代次数取300.

最终计算得到无损梁的前三阶频率为ωC= (56.6 Hz, 353.4 Hz, 1 018.3 Hz).所设参数计算结果为：KT=13.6 GN/m，Kθ=0.42 MNm/rad.

按照以上参数，利用二阶摄动法计算3个损伤悬臂梁的固有频率，结果见表2.

从计算结果可以看出：

(1)摄动法计算结果能反映损伤悬臂梁的频率变化规律，不同的损伤位置对各阶频率的影响也不同.3种损伤情况下第一阶频率的变化都比较小；而在150 mm处发生的损伤对第二、三阶频率的影响比较明显.相比之下，A3和A4梁的第三阶频率变化不大，这主要与振型节点位置有关；

（2)悬臂梁频率随着损伤程度的增加呈下降趋势，A3梁前三阶频率的下降幅度都小于A4梁；

（3）摄动法的计算值与实验结果比较接近，最大绝对误差为6.5 Hz.

（4)理论计算值与实验测量值之间有一定的差异，随着损伤程度和频率阶次的增加，计算误差也随之增大.

4 结束语

利用改进的裂纹损伤模型，推出损伤Euler-Bernoulli梁振动特征值和模态振型的一阶、二阶摄动计算式，为定性和定量分析结构损伤对模态参数的影响提供理论依据.最后，与损伤悬臂梁试验结果比较，说明该方法较为可靠.

同时，从计算结果也可以看出，如果单纯依靠结构固有频率的变化识别微小损伤比较困难，可以结合振型、曲率模态等参数的变化识别梁损伤.

参考文献：

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(编辑 廖粤新)

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