模糊数学方法

打开文本图片集

一、模糊数学的基本概念

1.模糊集与隶属函数的概念

论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。

Def.设U为一论域，如果给定了一个映射：[μA：U→[0，1]，][x→μA（x）∈[0，1]]

则该映射确定了一个模糊集合A，其映射 [μA] 称

为模糊集A 的隶属函数， [μA（x）]  称为[x]对模糊集A 的隶属度，使 [μA（x）=0.5]的点 [x]  称为模糊集A 的过渡点，即是模糊性最大的点。

对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集合。

模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体[F（U）={A"μA：U→[0，1]}]

注： [F（U）]是一个普通集合。

2.模糊集的表示方法：

对于有限论域[U={x1，x2…xn}]设[A∈F（U）]

（1）Zadeh表示法：[A=1nμA（xi）xi=μA（x1）x1+μA（x2）x2+…+μA（xn）xn] 这里“[μA（xi）xi]”不是分数，“+”也不表示求和，只是符号，它表示点[xi]对模糊集A的隶属度是[μA（xi）]

（2）序偶表示法：[A={（x1，μA（x1）），（x2，μA（x2）），…，（xn，μA（xn））}]

（3）向量表示法：[A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））]如果U为无限论域，设[A∈F（U）]，则[A=UμA（x）x]这里“[]”不是积分号，[μA（x）x]”也不是分数。

3.模糊集的运算

模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。

设模糊集[A，B∈F（U）]，其隶属函数为 [μA（x），μB（x）] .

（1）若对任意 [x∈U]，有 [μB（x）≤μA（x）]，则称A包含 B，记[B⊆A]

（2）若 [A⊆B]且 [B⊆A]，则称A与B相等，记为B=A。

二、隶属函数的确定方法

模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。

1. 模糊统计方法

模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.

模糊统计实验包含下面四个基本要素

①论域U;②U中的一个固定元素[x0];③U中的一个随机变动的集合[A*]（普通集） ;④U中的一个以[A*]作为弹性边界的模糊集A ，对[A*]的变动起着制约作用，其中[x0∈A*]，或[x0∉A*]， 致使[x0]对A 的隶属关系是不确定的。

2. 指派方法

指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。

3. 其它方法

实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很多的，主要根据问题的实际意义，具体问题具体分析.

三、模糊关系与模糊矩阵

模糊关系：设U，V为论域，则称乘积空间[U×V]上的一个模糊子集[R～∈F（U×V）]为从U到V的模糊关系。 如果[R～]的隶属函数为[μR～：U×V→0，1，（x，y）↦μR～（x，y）]，则称隶属度[μR～（x，y）]为 [（x，y）] 关于模糊关系[R～]的相关程度。

模糊矩阵：设矩阵[R=（rij）m×n]，且 [rij∈[0，1]（i=1，2…m;j=1，2…n）]则称R为模糊矩阵。比较特殊的情况有下边两种：

（1） 如果[rij∈{0，1}（i=1，2…m;j=1，2…n）]，则称R为布  尔（Bool）矩阵。

（2） 当m=1，或n=1时，则相应的模糊矩阵为 [R=（r1，r2，…，rn）]或 [R=（r1，r2，…，rm）T]，分别称为模糊行向量和模糊列向量

Def.  若模糊关系[R～∈F（U×U）]，且满足

（1）自反性：[μR～（x，x）=1]

（2）对称性：[μR～（x，y）=μR～（y，x）]

（3）传递性：

（[R～。R～⊆R～]或[μR～∘R～（x，y）=∨z∈U（μR～（x，z）∧μR～（z，y））≤μR～（x，y）]）

则称[R～]是U上的一个模糊等价关系，其隶属度 [μR～（x，y）]表示   的相关程度。

注：当[U={x1，x2，…，xn}]为有限论域时，U上的模糊等价关系可表示为[n×n]阶的模糊等价矩阵[R=（rij）n×n]。

[∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n]模糊等价矩阵：设论域为[U={x1，x2，…，xn}]，[I]为单位矩阵，如果模糊矩阵[R=（rij）n×n]满足：

（1）自反性：[I≤R（或rii=1，i=1，2，…，n）];

（2）对称性：[RT=R（或rij=rji;i，j=1，2，…，n）];

（3）传递性：[R∘R≤R]

（或[∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n] ）

则称R为模糊等价矩阵。

注：对于满足自反性和对称性的模糊关系与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵。

[λ]截矩阵：设[R=（rij）m×n]为模糊矩阵，对任意的[λ∈0，1]

（1）如果令[rij（λ）=1，rij≥λ，0，rij<λi=1，2，…，m;j=1，2，…，n，]则称[Rλ=（rij（λ））m×n]为R的[λ]截矩阵.

（2）如果令 [rij（λ）=1，rij>λ，0，rij≤λi=1，2，…，m;j=1，2，…，n，]则称[Rλ=（rij（λ））m×n]为R的[λ]强截矩阵.

注：对任意的[λ∈0，1]，[λ]截矩阵都是布尔矩阵.

模糊传递矩阵：设R是[n×n]阶的模糊矩阵，如果满足：[R∘R=R2≤R（或∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n）]则称R为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传递闭包，记为[t（R）]

Th.  对于任意的模糊矩阵[R=（rij）n×n]，则[t（R）=k=1nRk=（∨k=1（k）ij）n×n]特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数[k（k≤n）]，使得[t（R）=Rk]，对任意自然数[l>k]都有[Rl=Rk]此时一定为模糊等价矩阵。

四、模糊聚类分析方法

对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法 。然而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析 。

第一步. 数据标准化。

（1）获取数据：  设论域U=[{x1，x2，…，xn}]为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即[xi=xi1，xi2，…，xim][（i=1，2，…，n）]于是得到问题的原始数据矩阵为[A=（xij）n×m]

（2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：

（i） 平移——标准差变换.

当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响，即令 [x"ij=xij-xjsj（i=1，2…n;j=1，2…m）]

其中[xj=1ni=1nxij，sj=[1ni=1n（xij-xj）2]12（j=1，2，…，m）]

（ii） 平移——极差变换。

如果经过平移—标准差变换后还有某些[x"ij∉[0，1]]，则还需对其进行平移—极差变换，即令[x″ij=x′ij-min1≤i≤n{x′ij}max1≤i≤n{x′ij}-min1≤i≤n{x′ij}（j=1，2，…，m）.]

第二步，建立模糊相似矩阵。

设论域U= [{x1，x2，…，xn}，] [xi=xi1，xi2，…，xim（i=1，2，…，n）]   即数据矩阵为[A=（xij）n×m].如果[xi]与[xj]的相似程度为[rij=R～（xi，xj）（i，j=1，2，…，n）]，则称之为相似系数。

下边为确定相似系数[rij]的多种方法：

①数量积法。②绝对值指数法。③海明距离法。④欧氏距离法。⑤切比雪夫距离法。⑥主观评分法。⑦夹角余弦法。⑧相关系数法。⑨指数相似系数法。⑩最大最小值法。11算术平均值法。12几何平均值法。13绝对值倒数法。

第三步，聚类。

所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平[λ∈[0，1]]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。

（1）传递闭包法。

（2）布尔矩阵法。

（3）直接聚类法。

推荐访问:模糊 数学 方法