高速铁路板式轨道计算模型的建立

摘 要：为了合理处理高速铁路板式轨道结构动力学分析中板壳与梁杆、叠加板、梁轴与弹簧、板与弹簧、板与实体等連接问题，基于Timoshenko板壳理论和直接引入法建立了多点约束方程，构造了板式轨道组合结构计算模型.该模型将组合结构中相关节点对之间位移关系，通过偏心关系和板壳理论的直线假设，建立了多点约束方程，并把该约束方程引入到Galerkin法的弱积分形式中，解决了各种不同类型单元因偏移連接而对组合结构总体刚度矩阵修正.数值分析结果与变形测试试验结果表明，基于Timoshenko板壳理论和直接引入法所建立的高速铁路板式轨道结构层有限元模型具有合理性，实现了板式轨道不同结构层的良好連接和位移协调，消除了常规方法产生的不合理附加应力，从理论上完善了有限元分析中的不同构件連接问题.

关键词：板式轨道; 有限元; 约束方程;直接引入法

中图分类号：TU416 文献标识码：A

Establishment for Calculation Model

of Slab Track in High Speed Railway

ZHOU Yuan-heng1，WANG Yong-he1，QINGQi-xiang2

(1.School of Civil Engineering and Architecture, Central South Univ, Changsha,Hunan 410075,China；

2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan Univ, Changsha,Hunan 410082，China)

Abstract: In order to appropriately deal with the connection problems in kinetic analysis such as shell-beam-bar, superposition plates, beam axis-spring, shell-spring, shell-solid connections, et al, in high speed railway"s slab track, Timoshenko"s shell theory and direct introduction method were applied to establish multi-point constraint equations and the calculation model of the composite slab track. In the composite structure, to solve different type elements" revision to the composite structure"s total matrix caused by the elements" offset connections, the multi-point constraint equations on the basis of both the linear hypothesis in shell theory and eccentricity relations among relative nodes pairs in the composite structure were introduced to Galerkin weak form. The reliability of the FEM model on the basis of Timoshenko"s shell theory and direct introduction method was proved by the comparison between numerical analysis and real measured results, and meanwhile, the model produces good connections among different layers in the structure, eliminating irrational additional stress generated in conventional methods, which improves the connection problems among different components in FEM analysis.

Key words:slab track;FEM；constraint equation；direct introduction method

在很多工程实际问题中，经常遇到連续体和薄壁板壳以及细长杆、梁等组成的结构.如高速铁路板式无砟轨道结构依次由钢轨、扣件和轨下胶垫、轨道板、CA砂浆层、整体混凝土道床、路基和地基等构成.在对这些复杂结构进行有限元分析时，应根据结构的实际情况，合理选择单元类型.例如，用实体单元对杆件和板壳结构进行离散时，如果网格适应结构的几何特点，即单元的两个方向或一个方向比其他方向小得多，这使得单元不同方向的刚度系数相差过大，从而导致求解方程的病害或奇异，最后使解丧失精度或根本失败.为避免上述问题，合理的方案是对不同的结构引入不同的单元，如板式无砟轨道结构中，扣件及轨下胶垫系统采用弹簧阻尼单元，而与它連接区域——钢轨采用梁单元、轨道板采用板壳单元；整体混凝土道床采用实体单元，而与其連接区域CA砂浆层采用板壳单元.但是，这些单元节点的型式与配制不可能一致，有的还产生位置偏移，为保证交界面上的位移协调，就要研究和解决不同类型单元的連接问题.

对于板壳单元或梁单元与实体单元相連接的情况，恰当的提法是要求变形后实体单元与板壳单元或梁单元的交界面上各点位移沿垂直于该面方向(即平行于壳体或梁中面的方向)的分量应相同，即两类单元在该面上仍保持贴合.但不能要求两类单元交界面上各点位移沿平行于该面方向(即垂直于壳体中面的方向)的分量应相同，因为板壳理论中已忽略该方向位移的变化.如果要求两类单元在该方向位移一致，这就将板壳理论中的假设也引入了实体单元，也就是强迫实体单元在交界面上该方向的应变为零.这个不恰当的强制条件将会使实体单元在交界面附近产生相当大的附加应力，从而使仿真计算结果失真[1-3].

本文首先采用直接引入法，建立不同类型单元之间的约束方程，然后将约束方程引入Galerkin法的弱积分形式中，经转换后的实体部分的刚度矩阵和载荷向量可按通常的步骤进行，与板壳或梁部分的刚度矩阵或载荷向量集合成系统的刚度矩阵和载荷向量，从而得到系统的求解方程组，最后对整个系统方程进行求解，并与现场实测结果进行对比分析，以验证计算模型.

1 多点约束方程的建立

1.1 梁单元与弹簧阻尼单元的連接

对于钢轨正下方的扣件和轨下胶垫，可采用弹簧单元模拟，钢轨采用梁单元模拟.变形前梁单元上通过节点I的中面法线与弹簧单元上通过节点i的纵向对称轴z在同一条直线上，且梁单元法线上的Ib点与弹簧单元纵向对称轴上的i点相連接；变形后该直线仍保持为直线，即連线I-Ib-i仍是一条直线，且点Ib与点i仍保持連接（见图1）.这样，当弹簧单元位于梁单元下方时，其多点约束方程为

ui=uI－HθyI；

vi=vI+HθxI；

wi=wI.(1)

而当弹簧单元位于梁单元上方时，其多点约束方程为

ui=uI+HθyI；

vi=vI－HθyI；

wi=wI.(2)

把式(1)和式(2)写成矩阵形式，即

uiviwi=1H00001±H0000100uIvIwIθxIθyI.(3)

式中：H为梁厚度的一半.

1.2 板单元与板单元的連接

因轨道板的厚度190 mm与长度 4 930 mm和宽度2 340 mm相比较非常薄，比例分别为1/26和l/12左右，而CA砂浆层厚度50 mm相应的比例更小，因此，为了避免不同方向的刚度系数相差过大，导致求解方程的病害或奇异，轨道板和CA砂浆层需要采用板壳单元离散去模拟.

1.3 板单元与三维实体单元的連接

对于CA砂浆层与水凝性混凝土稳定承载层，依实际工况来看，可假设CA砂浆层为板单元，混凝土承载层为实体单元，两者之间的連接为刚接，且其相接触处位移相等.根据以上1.1节分析，基于Timoshenko梁理论假设，若要求板单元节点位移很好地与实体单元节点相衔接，则其对应节点位移之间的关系可由刚性杆相連接来模拟.

其平移自由度约束方程为

ui,j=uI,J－HθyI,J；

vi,j=vI,J+HθxI,J；

wi,j=wI,J.(16)

因其連接为刚接，则其转动自由度θyI,J和θxI,J还应满足下列关系式

θxI,J=vi,j+1－vi,j－1yi,j+1－yi,j－1；

θyI,J=ui+1,j－ui－1,jxi+1,j－xi－1,j.(17)

式中：xi+1,j－xi－1,j和yi,j+1－yi,j－1分别为实体单元节点i+1,j与i－1,j和i,j+1与i,j－1之间的整体坐标系x与y坐标之差.这样，把式(16)代入式(17)可得对应点（i，i）→（I，I）的约束方程为

ui,i+Hxi+1,j－xi－1,jui+1,j-Hxi+1,j-xi－1,jui－1,j=uI,I；

vi,i－Hyi,j+1－yi,j－1vi,j+1+Hyi,j+1－yi,j－1vi,j－1=vI,I；

wi,j=wI,I. (18)

1.4 板单元与梁单元連接

对于高速铁路板式轨道，依实际工况来看，可把防滑支档柱简化为梁单元来分析，这样就构成了偏心梁单元与实体单元、板单元组合结构，必须建立约束方程，以使两种不同性质单元结合处的节点位移协调.

为保证板单元与梁单元的节点坐标系沿相应的轴向具有相同的转角，规定两坐标轴必须平行，否则应先进行必要的坐标变换.设lx，ly和lz为两节点I，j间距离l在梁单元节点坐标系上的投影，见图4.根据两节点间的变形关系，可导出两单元位移协调的变换关系.

设板单元上节点I的位移列向量为

UI=uIvIwIθIxθIyθIzT. (19)

设板单元上节点j的位移列向量为

Uj=ujvjwjθjxθjyθjzT. (20)

这里，我们已讨论了梁单元与实体单元、梁单元与弹簧单元以及板壳单元与梁杆单元、板壳单元与板壳单元的連接问题.前者是板壳单元在其顶面（或底面）上与实体单元相連接，而后者则是板壳单元的顶面（或底面）与梁单元的底面（或顶面）相連接.

到此，本文已经采用直接引入法，建立了各种不同类型单元之间的约束方程.最后一步，就是将约束方程引入Galerkin法的弱积分形式中，形成刚度矩阵，然后利用数值计算方法求解[4-5].

2轮载力表述及材料参数

2.1 轮载力表述

当车辆在轨道上行驶时，实际上机车车辆的垂直轮载不是作用在钢轨中心线上，横向力也不是作用在钢轨截面的剪力中心上，则钢轨上作用有扭矩.车辆正常运行情况下，钢轨的垂向、横向位移和转角相互之间无影响，可以线性叠加，所以3种情况可以分开考虑(见图5).对于轨下结构的动力响应可以只考虑上述垂向轮载力的作用[6].

英国铁路技术中心多年来的大量理论研究和实验工作表明[7]，产生竖向轮轨力的主要原因是由各种不平顺及轮周局部扁瘢造成的，竖向轮轨力主要出现在3个频率范围内：①低频范围（0.5～10 Hz），几乎全部由车体对悬挂部分的相对运动产生；②中频范围（30～60 Hz），由簧下轮对质量对于钢轨的回弹作用产生；③高频范围（100～400 Hz），由钢轨的运动受到轮轨接触面的抵抗所产生.实测表明，轮轨作用力在中频范围较为剧烈，高频范围主要影响车体的动力响应.

与高、中、低频相应的反映不平顺、附加动荷和轨面波形磨耗效应的激励力来模拟轮轨之间的相互作用力即列车荷载.考虑相邻轮轨间的叠加作用（主要与车轮间距、车轮个数、轮重等有关）、钢轨和轨枕对列车荷载的传递和分散作用，垂向轮载力（刚开通时，不考虑轨面波形磨耗效应）可表达为

Ft=k1k2P0+P1sin ω1t+P2sin ω2t.（26）

式中：k1为叠加系数；k2为分散系数；P0为车轮静载；P1和P2分别为对应于低频、中频控制条件中某一典型值的振动荷载.

令列车簧下质量为M0，则相应的振动荷载幅值为

Pi=M0aiω2i,i=1,2,3.（27）

式中:M0为簧下质量,750 kg；ai为相应于不平稳控制条件下的几何不平顺矢高，反映了路况;wi为振动圆频率，wi=2πv/Li，其中，v为车速，Li为几何不平顺曲线的波长.

考虑到高速铁路350 km/h的运行标准，对应于低频、中频控制条件分别取其典型的不平顺振动波长和相应的矢高为：L1=50 m, a1=16 mm；L2=5 m, a2=2.5 mm.文中取k1=1.545；k2=0.78.计算结果见图6，与武广高速铁路现场测试结果基本一致[8].

武广高速铁路武汉综合试验段，运行的CRH3动车组共8节车箱，其中两头车箱为拖车，中间六节车箱为动车，即6动+2拖组合，其车体构成见图7.列车轴重15 t，轮径为890 mm，转向架固定轴距为2 500 mm，两转向架相距17.375 m，头车车辆长度为25 675 mm，中间车辆长度为24 775 mm，车箱与车箱之间距0.55 m.

在任一时刻t，设车辆匀速移动轮载为[7,9]

ft=Ftδx－vt. （28）

式中:Ft为轮载；x为轮载在t时刻的位置;δ为δ函数,即δ(xi=vti)=1，δxi≠vt=0.其中，xi为轨道板承轨槽所在位置，xi=x0+ils(i=1,2,…,N)，x0为初始参考点，ls为承轨槽间距.列车经过两相邻承轨槽所需的时间Δt=ls/v.

2.2 现场测试工点概况

武广高速铁路DK1252+840～+888低填方为桥路过渡段，过渡段长20.0 m，其结构型式为倒梯形.计算时，取桥路过渡段48 m、桥墩3 m，这样整个计算长度为51.0 m.由上至下共分为8层，第一层为钢轨；第二层为轨下垫层；第三层为轨道板；第四层为CA砂浆层；第五层为混凝土承载层；第六层为基床表层(级配碎石+5%水泥层)； 第七层为基床底层+路堤层(由武汉至广东方向：路基从填高3 m逐渐过渡到挖深5 m即DK1252+840～+856.2区间，填高3 m；DK1252+856.2～+875.4区间填高4 m；DK1252+875.4～+888区间填高5.1 m.注：过渡段坡比1∶2，顶面长3 m，底面长12.6 m，填料级配碎石+5%水泥层，其余路段为A,B填料组)；第八层为地基层(DK1252+840～+856.2区间，地基冲击压实；DK1252+856.2～+888区间CFG桩加固)，取30 m.

2.3 计算模型及材料参数

计算时间取第1个轮载进入模型至第32个轮载驶出模型所用时间+列车编组经过模型51 m所用时间+列车驶出模型后所设定的延长时间.车速350 km/h.

钢轨选用CHN60轨，横截面为“工”字形梁；轨距为1 435 mm.扣件和轨下胶垫系统视为弹簧阻尼结构，初始长度为38 mm.取其总等效刚度k=4.38×107 N/m，阻尼系数c=4.5 ×105 N•s/m.其他计算参数见表1（注：路基填料材料参数均通过现场波速法测取）.

位移边界条件：对称面UY=0，第八层及以下地基层的计算模型的左右两端面、两侧面、底面均采用无限元计算[10].

考虑到对称性，计算模型只取路基一半.有限元模型见图8.

3 过渡段路基的动态响应特征

3.1 动态响应随时间变化

图9为列车经过离桥台2.4 m，18 m远基床表层面上的竖向真动位移时程变化曲线.图中波峰分别对应各轮载经过路桥过渡段某横断面时基床表层面上的振动竖向位移随时间变化，波谷为无轮载作用时基床表层面上的动位移变化.这说明一个轮载对路基的作用分加载和卸载两个过程，对于路基结构，一个转向架就相当于两次加卸载.转向架的前轴通过后，动态响应降低至一定程度便开始增加，这是转向架前后轴轮载对路基作用的叠加结果.前轮经过时，动态响应小，后轮经过时，动态响应大.

图10为列车经过离桥台3.0 m，18.0m远轨道正下方基床表面上的竖向动应力时程变化曲线，随时间的变化规律与振动位移非常类似.

由图9～图10还可以看出，列车经过路桥过渡时，离桥台越近，刚度越大，对应的振动位移响应越小，动应力越大；离桥台越远，刚度越小，振动位移响应相对增大，动应力相对减少，并趋于平稳.这些都与我们以往的结果基本一致.

3.2 动态响应随路程变化

理论分析结果的正确与否都要通过试验验证.为了进一步验证引入上述约束方程后有限元方法分析结果的可靠性，文中对武广高速铁路DK1252+840～+888路桥过渡段板式轨道的动位移、动应力测试值与其计算值进行比较.图11～图12为轨道正下方不同深度处的竖向动位移、竖向动应力计算值随路程变化曲线，同时图中还列出了实测值.从图中同样可以看出，离桥台越近，刚度越大，其对应的动位移响应值越小，动应力响应值越大；反之，离桥台越远，刚度越小，其对应的动位移响应值越大，动应力响应值越小，趋于稳定；而且理论计算结果与测试结果基本吻合，因此证明了文中所建立的考虑约束关系处理連接问题的有限元模型是基本正确的，为类似的工程问题提供了一种参考方案.

4 结 语

从上面的分析可以得出如下结论：

1) 针对板式无砟轨道的轨道板与CA砂浆层的实际接触情况，采用板壳理论所建立叠加板連接的多点约束方程正确地反映了壳元与壳元的連接关系.

2) 基于板壳理论所建立的板与梁叠加面上点位移协调的多点约束方程，正确地反映了板元与梁元的連接关系；将多点约束方程代入梁元的单元分析中，通过自由度替换进行实现，保证了板与梁的良好連接，使其具有较高的数值计算精度.

3) 针对钢轨与轨下胶垫及扣件的实际連接情况，采用板壳理论所建立的梁与弹簧交界面上点位移协调的多点约束方程正确地反映了梁元与弹簧单元的連接关系.所有的連接工作均在梁元内实现，保持了弹簧单元分析的独立性，使其易于编程实现.

4) 针对CA砂浆层与混凝土承载层的实际接触情况，采用板壳理论所建立的壳元与体叠加面上点位移协调的多点约束方程，正确地反映了壳元与体元的連接关系.从文中可以看出，文中方法不依赖于实体与壳連接的角度和位置，使其对实体与壳的叠加連接形式有广泛的适应能力.

5) 通过实例证明，文中所建立的各类性质不同单元的多点约束方程是正确的，为解决类似的工程问题提供了一种较为精确的方案.

参考文献

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