关于数学思想问题的几点思考

【摘要】数学思想是教学活动的价值观念和行为规范，本文作者就数学创新思想、求真思想、更改思想，谈了自己的几点看法。

【关键词】数学思想;创新思想;求真思想;理性思想

Several thinkings about mathematics an ideological problem

Qiu Changfu

【Abstract】Mathematics thought is flexible values of teaching and behavior regulations, the main body of a book mathematic FOAK of author thought, seeks true thought , changes thought, have talked about self several view.

【Key words】Mathematics thought; Thought being innovative; Seek true thought; Reason thought

数学思想是教学活动的价值观念和行为规范。本文谈谈我的几点思考。

1 数学创新思想

1.1 创新思想的概念。结合新情况、寻找新思路、解决新问题、创立新理论，这种思想叫创新思想。

1.2 数学创新思想的几点特点。首先，问题是数学创新的起点。群论的创造是为了解决四次以上数学方程是否有根式解的问题。超限数的创立是为了进一步弄清数学分析的基础，为了解决画家怎样把立体的东西画在平面上，产生了摄影几何……可以说：“没有问题就没有数学创造。”再者，创造的自由性在近现代数学中表现得越来越明显。德国数学家康托说：“数学的本质就在于自由。”他主张数学家自由创造自己的概念，而无需估计是否实际存在。这个认识使康托有可能超越有限的世界，以数学家的严密性建立起集合论的超限数；使集合学家超越感觉想象的空间，去研究非欧空间、n维空间；使公理数学家有可能建立抽象的纯数学的种种特异的数学来……总之，使数学家永葆创新思想，推动数学永往直前。

1.3 数学创新思想的教育功能。创新是科学的本质，是社会发展的不竭动力。由于数学创新的典型事例多、创新实践对外界条件要求较少、创新成果易于展现，所以通过数学培养学生的创新思想是一条事半功倍的途径。通过数学创新思想的培养，能够克服学生唯书、唯师、唯上，照抄照搬的陋习，增加学生探索研究问题的主动性，提高学生思维的创新性、广阔性、

流畅性及灵活性。

2 数学求真思想

2.1 求真思想及其意义。求真思想是不懈追求真理的思想。真理是人们在社会实践中形成的对主客观事物及其规律的正确认识。人类只有掌握了真理，才会能动地改造世界。因而，求真是科学的首要目的，求真思想是科学发展的内在动力。

2.2 数学求真思想的特点。数学不同于其它科学，它是人类根据自己的需要而抽象建构起来的，它的真理性必须经受逻辑和实践的双重考验。

十七世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分。尽管实践证明微积分的预算法则是正确快捷的，但是因为它的许多概念缺乏严格的逻辑解释，它仍然受到很多人的怀疑和攻击。直到二百年后，柯西从逻辑上建立了微积分的理论体系，微积分才得到数学界的公认。

十九世纪，格拉斯曼创立了n维欧氏空间的理论。虽然这个理论在逻辑上是正确的，但因它超越了人们的经验，仍然受到许多数学家的抵制，直到二十世纪，n维集合在相对论和统计物理学中都得到应用，n维欧氏空间理论才得到社会的承认。

数学求真的艰难历程，磨练了数学特有的求真思想。

首先，数学求真比任何学科都重视逻辑。波利亚说：“对选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想的唯一方法。但是对数学家来说，对选择的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学里证明了一个猜想。”能使数学猜想在理论上确立的只有逻辑证明。

其次，数学求真要不轻信经验。非欧集合的平行公理和许多定理是与我们的经验不相符合的，但它们却构成了一个相容的几何系统，并在现代物理学中得到应用。“全体大于部分”在常识中是当然的时，但在无限领域中却不成立。这是因为经验只能反映事物的表象，不能揭示事物的实质。

再则，数学求真要勇于批判。非欧集合的诞生可以追溯到对欧氏平行公理的怀疑；勒贝格积分的建立是由于发现了黎曼积分的局限性，希尔伯特创立形式公理化方法，是因为认识到了欧氏公理系统的不严格……这说明，不同观点的论争同样是数学发展的重要动力。

还有，同所有科学一样，数学求真也离不开刻苦钻研。瑞士数学家欧拉一生忘我工作，在双目失明的情况下，还口述了400篇论文和好几本书。正是这种思想才促成了他的丰功伟绩。

2.3 数学求真思想的教育功能。数学求真思想能够激发人们追求和坚持真理的勇气和自信心。养成独立地发现问题、思考问题和解决问题的习惯，不惧怕困难、不屈服挫折。教育人们客观公正地看待一切，不轻信经验，不迷信权威，不随波逐流。

3 数学理性思想

3.1 数学理性思想的内涵。依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识称为理性认识。重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种思想称为理性思想。

3.2 数学理性思想的形成。虽然理性思想在不少学科都有表现，但它最早却是由数学引入的，并逐步成为数学思想的核心和灵魂。

早在公元前6世纪，希腊数学、哲学之父泰勒斯就看到：仅仅以个别测量实例的需要为目标，埃及人中流行的测量土地的方法是笨拙的。他认为：人类不但可以从实际经验中获得知识，也可以从已认可的事实出发，经演绎推理得出新知识。如果作为出发点的事实正确，推理方法正确，所得的结论也必然正确。据此，他提出测地述应上升为建立在一般原理上的演绎的几何学。

在泰勒斯将演绎推理引入数学后，希腊毕达哥拉斯学派接着提出：数学中的数、点、线、面及各种数学概念是人思想的抽象及概括，与实际事物截然不同。虽然思考抽象比思考具体事物困难得多，但数学的抽象概括却给人类带了了最大的好处：研究对象一般性及所得结论的普适性。

演绎推理与抽象概括相结合初步形成了数学理性思想。希帕索斯不可通约量后，人们开始认为感性认识是不可靠的，只有理性认识才是可靠的，并且渐渐把演绎推理作为检验数学真理的必经途径之一。

3.3 数学理性思想的教育功能。理性思想是数学对人类文明的最大贡献。数学理性思想的教育可以使人类看到理性的力量，增强利用思维推理获得成功的信念。提高思维的严谨性、抽象性、概括性、深刻性，养成重视理论、勤于思考的习惯，其中的公理化思想还能培育法制观念和法制社会。

收稿日期：2008-08-11

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