取象比类方法在复变函数教学中的应用

摘 要：取象比类法在教学中起着非常重要的作用，本文利用大家熟悉的三角函数——正弦函数说明了复变函数中一些函数进行单叶性区域划分的意义及初等多值函数函数为何有单值解析分支，这是取象比类法在复变函数中的一个重要应用。

关键词：取象比类 复变函数 多值函数

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（a）-0087-01

多值函数在复变函数中是一个重要而难理解的内容，由于学生接触的大部分函数都是有单值函数，所以对于多值函数尤其是其反函数的单叶性区域及其本身的单值解析分支的概念令学生非常苦恼，学生会很难理解研究初等多值函数为什么先要研究其反函数的单叶性区域，比如说为了研究，课本首先从其反函数的单叶性区域讲起，如果直接按照定义去教给学生的话，只能是让学生死记概念，很难理解为什么要划分单叶性区域，为什么会有单值解析分支。此时，运用取象比类法来教授这部分内容会令学生茅塞顿开，不仅理解了概念，对如何划分单叶性区域，如何取其单值解析分支也会非常清晰。所谓取象比类，是指运用带有感性、形象、直观的概念、符号表达对象世界的抽象意义，通过类比、象征方式把握对象的思维方法，又称为“意象”思维方法。具体地说，就是在思维过程中以“象”为工具，以认识、领悟、模拟客体为目的的方法。取“象”是为了归类或比类，即根据被研究对象与已知对象在某些方面的相似或相同，推导在其他方面也有可能相似或类同。教授初等多值函数这部分内容，我们可以从大家最熟悉的函数三角函数入手。三角函数几乎是初中生就能理解的内容，从最简单的正弦函数开始，学生会觉得简单、亲切。我们从正弦函数入手，来说明为什么研究多值函数，要先研究反函数的单叶性区域。众所周知，正弦函数，其定义域为，值域为，其图像如图1所示。

图1中仅为两个周期内的函数图象。

正弦函数是周期函数，其最小正周期为，在区间上为单调递增函数，而在区间上为单调递减函数。我们知道，在整个定义域内其反函数是不存在的，因为一个，有多个与之对应。但如果按多值函数“理解”的话，其反函数是多值函数。但具体地说，其反函数很难表示出来，图象也很难画出。如果我们按照单调区间给它划分一下再找反函数会容易的多。我们知道，单调函数一定存在反函数，因此，在正弦函数的任意一个单调区间其反函数一定存在。高中时候我们把定义在上的正弦函数所取的反函数定义为，其实按照复变函数中多值函数概念的理解，定义在不同的单调区间的正弦函数都能取反函数，其反函数是无数个分支，如图2。

实线部分的曲线为我们通常所认识的，虚线图象可分别理解为正弦函数反函数的分支，它们是分别在正弦函数的定义域和上所取的反函数，每一个分支又是单调、连续可微函数。

由此例我们可以看出，正弦函数取反函数将其定义在单调区间上就是为了找到也是单值的连续可微反函数。而我们研究多值函数，可以将其“看成”为的反函数，为了找到单值的反函数，我们也要找到类似于正弦函数单调区间的一个区域即单叶性区域，使得定义在该区域内的函数有单值反函数即单值分支。我想如果从大家最熟悉的这个三角函数入手的话学生对初等多值函数的理解会更加深刻一下。

在复变函数的授课中还有很多内容可以用到取象比类的方法，从整本书内容的安排到各章内容都与数学分析有着很多相似之处，如果对比数学分析去讲复变函数的话不仅可以让学生学好复变函数也可以令学生对数学分析理解得更加深刻。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论[M].3版.高等教育出版社，2004.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.高等教育出版社，2001.

[3] 钟志华，宁连华，白会平.例谈数学思想方法的教学策略[J].数学教育学报，2007，16：13.

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