中学数学建模的问题及其解决

摘   要 “数学建模”是高中数学课程六个核心素养之一。中学数学建模有利有弊，针对数学建模之弊，有如下教学策略：不宜拔高数学建模的学习要求，不能冲淡对数学本身的学习，不应加重大多数中学生的学习负担，不要挫伤大多数中学生的学习信心，对数学建模应有敬畏之心。

关键词 数学建模  数学模型  利弊分析  教学建议

数学应用具有广泛性，数学家华罗庚在著名文章《大哉数学之为用》中说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”[1]《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）把“数学建模”作为六个核心素养之一，其根本意图在于培养学生的数学应用能力和数学创新意识[2]。“数学建模”对培养学生应用数学的能力无疑是重要的、有效的。

一、数学建模的意义

《新课标》指出，“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”[2]。数学建模的含义有广义和狭义之分。“广义的数学建模是指把凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型;狭义的数学建模是指针对特定现实问题或具体事物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者”[3]。数学建模的过程主要包括问题分析、假设化简、建模求解、验证修改等环节[4]。“所谓数学模型，就是根据特定的研究目标，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构”[3]。

数学建模的基本任务是建立数学模型（如方程模型、函数模型、几何模型等），然后用数学知识和方法求解数学模型，从而实现用数学解决实际问题的目的。数学建模的过程可以粗糙地归结为“实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题”。通过数学建模得到的数学模型可能是现成的数学模型，也可能是新的数学模型。新的数学模型的解决办法可能用已有数学知识经验即可解决，也可能发现（创造）新的数学知识去解决问题。这说明，数学建模对培养发现、提出、分析和解决问题的能力是有益的，有时还会发现（创造）新的数学知识和方法。所以，数学建模对培养学生的创新意识是有益的。

数学研究的核心对象是各种模型的结构、特征和关系。吴增生认为，数学模型指的是经过数学抽象的具有数量关系和空间结构的直观对象，具有可观察、可描述、可操纵（分拆、组合和变换）等特征，本质上，模型是一个集合，它是人们对客观对象的结构、特征及其关系进行抽象、分拆、重组和逻辑思辨的对象和产物[5]。数学模型很多，如公式模型，定义（概念）模型，数学思想方法模型，数学思维方法模型（如抽象法、概括法、归纳法、类比法、反例法等），逻辑推理模型，解题程序模型等。学生对数学的学习从本质上讲就是对数学模型的学习。

二、中学数学建模的问题分析

数学模型是数学创新思维的结晶，也是产生新的数学知识的重要载体。学习的目的在于应用，数学学习除增长智慧、锻炼思维、提高心智之外，还应充分发挥它的应用价值。数学建模的价值包括：数学教育价值[6]，科学的价值[7]，提升数学应用能力和激发数学创新意识[8]。数学建模的好处是很多的，但中学数学建模也存在一些问题。

1.数学建模会拔高中学生对数学学习的要求

长江学者、国家杰青获得者、四川大学罗懋康教授长期做应用数学研究，并取得丰硕成果。罗教授认为，基础数学（纯粹数学）只需满足“逻辑自洽”，应用数学既要满足“逻辑自洽”，还必须“符合实际”[9]。他对应用数学必须“符合实际”有切实的体会，他举例说：“在工程技术、社会科学、军事科技等领域，仅仅要求知识能自圆其说是不够的，必须还要符合实际，否则要出问题，甚至是致命的后果。”搞應用数学的人，不仅要具有良好的数学思维，还要具有“思维的灵活性、容错性和广泛性”[9]。在中学阶段，学生主要学习纯粹数学，主要关心数学知识的“逻辑自洽”，但教学现实是很多学生的逻辑思维比较差。数学建模还要求学生具有“思维的灵活性、容错性和广泛性”，这会大大拔高中学生对数学学习的要求。

2.数学建模会冲淡中学生对数学本身的学习

数学建模的问题往往还会涉及其他学科知识、陌生专业领域以及生产生活经验。也就是说，对于缺乏其他学科知识、不熟悉陌生专业领域以及缺乏生产生活经验的学生，哪怕数学基础良好的学生，对数学建模也会是富有挑战性的。如1999年的“轧钢”应用问题，考生由于缺乏“轧钢”的生产经验，既读不懂题又看不懂图，致使绝大多数考生得分极低，并且影响考生解答其他试题的心理，受到社会广泛批评。中学教学为应对数学建模，学生必须花不少时间去学习其他学科知识，去了解陌生专业领域，去积累生产生活和数学建模经验，这必然会冲淡对数学本身的学习。

3.数学建模会加重中学生的学习负担

数学建模的过程一般需要学生整合多门课程的知识，需要查阅文献资料，需要围绕问题收集信息，需要咨询专家行家等等，这些虽然对培养学生的综合素质大有好处，但必然会耗费学生大量的学习时间。真正的数学建模问题一般具有情境的新颖性、背景的陌生性、理解的困难性、建模的艰巨性、结论的开放性等特点，它们比数学基础知识和数学思想的学习具有更高难度，在很多中学生特别是高中学生的数学基础知识都过不了关的情况下，数学建模会拔高对数学学习的要求，也会加重大多数中学生的学习负担。

4.数学建模会挫伤大多数中学生的学习信心

张淑梅等的调查表明，六个数学核心素养中数学建模平均得分远低于其他五个核心素养的平均得分，数学建模对全体学生都具有挑战性，绝大部分学生的建模能力都是比较低的[10]。数学建模较高的教学要求可能会给绝大部分学生学习数学的信心造成负面影响，必然会加重这些学生的心理负担，可能会遭到这些学生内心深处本能的抵制和反对。有研究发现，对较难的数学应用问题男女生差异显著[11]。这说明，较难的数学应用问题对女生不利，这当然会影响女生学习数学建模的信心。

5.中学数学建模的教学现实不容乐观

“数学应用问题教学一直是数学教学的软肋，教师在数学教学中不重视，学生在数学学习中不喜欢，教材专家认为很重要，教研专家认为有必要，第一线教师认为教学中没有用”[7]。李明振和喻平发现，不少高中数学教师数学建模能力较为欠缺[12]。姜凤英等发现，在岗初中数学教师和高校毕业生的数学建模能力都比较弱，并且在岗教师的数学建模能力更弱[13]。这些调查说明，教师难以胜任数学建模的教学与指导工作。这就不难理解近年来虽然数学建模的调子唱得很高，但成效却很低。徐斌艳等发现，在复杂或较为陌生情境下几乎没有学生能够识别并建立数学模型[14]。朱娅梅的测试和统计分析发现，对于一个看似不难的问题（汽车加油问题），只有1%的学生能够正确理解题意[15]。从这个含有实际背景的问题测试结果来看，学生能够正确理解题意是很不容易的。

三、数学建模教学问题的解决

1.不宜拔高中学数学建模的学习要求

对全体学生而言，了解一点数学建模是必要的、有益的，但应控制教学的容量和难度。搞应用数学或数学建模的基础是具有良好的数学思维和坚实的数学基础，而坚实的数学基础体现在理解数学知识的“逻辑自洽”。但很多学生的数学思维能力并不强，数学基础也不扎实;加之，搞应用数学的人还应具有“思维的灵活性、容错性和广泛性”[9]，这无疑会拔高中学生对数学学习的要求。在中学拔高数学建模的学习要求是不切实际的，对于基础差的学生，只需肤浅地了解数学建模过程，不宜作具体要求。让一些（极少数）基础好的学生，参与1（或2）次数学建模活动，经历1次数学建模全过程，培养这些学生的数学建模能力和综合实践能力。

2.数学建模不能冲淡对数学本身的学习

数学理论知识的系统学习是数学教学的根本任务。数学建模可视为检验学习数学后的实际应用能力的一种有效方式，因此，数学建模的教学只是数学教学任务的一部分。扎实的数学“四基”是数学建模的必要条件，但数学建模涉及的问题一般不是纯粹的数学问题，往往还会涉及到其他学科知识、陌生专业领域以及生产生活经验。在学生数学理论知识不够系统、不够扎实的情况下，如果花大量精力去学习数学建模所需要的知识、方法，在此基础上去解决数学建模问题，那就会分散系统学习数学理论知识的时间和精力，可能会冲淡对数学知识本身的系统学习。对此，应把数学知识本身的系统学习放在教学的首要位置，这可增加数学建模的有效性，并减少“为数学建模而数学建模”的盲动性和低效性。

3.数学建模不应加重大多数中学生的学习负担

数学建模的过程一般需要学生整合多门课程的知识，需要查阅文献资料，需要围绕问题收集信息，需要咨询专家行家等，这些对培养学生的综合素质虽然大有好处，但必然会耗费学生大量的学习时间。因此，数学建模会加重大多数中学生的学习负担。所有中学生可简单地分为三类：第一类是大多数中学生将来学习和工作都不会（或不愿意）与数学建模打交道，他们对数学建模的过程（环节）只需了解即可，这些同学甚至可以不参与数学建模的教学活动，让他们多去干一些其它更感兴趣事情;第二类是一些将来学习和工作都需要数学建模知识的学生，可以作适当的要求，如参与1次完整的数学建模的教学活动;第三类是极少数将来以数学建模（应用数学）为职业的学生，对他们的要求应该最高，教师可以指导他们以自学为主，培养和发展数学建模能力。这样的数学建模教学才真正体现了因材施教、分层教学、分类指导，这就可以把大多数中学生在数学建模方面的学习负担降下来。更为积极的做法是，以《数学建模》为专题，开设成选修课。

4.数学建模不要挫伤大多数中学生的学习信心

数学既可以给数学家带来快乐，也可以给更多的人带来学习上的痛苦。70%以上的网友（新浪网）希望数学“滚出高考”[16]。中国的中学生特别是高中学生的学习压力（负担）可能是世界上最重的，数学教学改革应该考虑如何减负而不是相反。数学建模学习信心的建立源于数学建模的成功体验，数学建模题或应用题的难度太大是影响数学建模学习信心的关键性因素。提高数学建模成功体验的策略有：降低教材难度，对教材中过于繁难且思维价值不高的数学建模题或应用题应删去;控制高考、中考的难度，高考、中考的数学建模题（应用题）的难度系数宜控制在0.7左右;减少教材中关于数学应用题的数量，不少一线教师埋怨教材中数学应用题太多;数学建模题不宜涉及太多其他学科背景。

5.对数学建模应有敬畏之心

对中学的“数学建模”和“应用数学”应有敬畏之心。学生将来真正以“数学建模”为职业的会很少，可能占总人口的比例不到1‰。从罗懋康的报告和张淑梅等的调查易知，研究应用数学、做数学建模都是很不容易的。由此教材编写专家、一线教师、考试命题专家对数学建模都应有敬畏之心。对于数学建模题（应用题），教材专家编写简单一点，一线教师讲课简单一点，考试命题专家命题简单一点。学生就可能学得轻松一点，考得好一点，就可能对“数学建模”多一份敬与爱。

参考文献

[1] 华罗庚.科普著作选集[M].上海：上海教育出版社，1984.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017。

[3] 但琦，朱德全，宋宝和.中学生数学建模能力的影响因素及其培养策略[J].中国教育学刊，2007（04）.

[4] 史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（07）.

[5] 吴增生.数学模型理解与建构的心理机制及其教育启示[J].中国数学教育：高中版（沈阳），2009（03）.

[6] 张景斌，王尚志.中学数学建模活动为中学生创造发展空间[J].数学教育学报，2001，10（1）.

[7] 刘来福.数学建模——数学科学技术化的桥梁[J].学科教育，1995（12）.

[8] 余继光.从数学应用意识到数学建模素养.数学通讯（下）（武汉），2017（01）.

[9]罗懋康.数学应该是什么？[EB/OL].[2018-06-03].https：///a6562722530228961805/？tt_from=mobile_qq&utm_cam-paign=client_share&timestamp=1534201643&app=news_article&utm_source=mobile_qq&iid=40751489550&utm_medium=toutiao_ios&gro-up_id=6562722530228961805.

[10] 张淑梅，何雅涵，保继光.高中数学核心素养的统计分析[J].课程·教材·教法，2017，37（10）.

[11] 但琦.高一学生数学应用能力的调查与分析[J].数学教育学报，2007，16（01）.

[12] 李明振，喻平.高中数学建模课程实施的背景、问题与策略[J].数学通报，2008，47（11）.

[13] 姜凤英，李建华.关于初中数学教师数学应用能力的思考[J].数学教育学报，1999，8（03）.

[14] 徐斌艳，朱雁，鲍建生，等.我国八年级学生数学学科核心能力水平调查与分析[J].全球教育展望，2015，44（11）.

[15] 朱娅梅.我国八年级学生数学建模能力的调查研究[J].上海教育科研，2017（04）.

[16] 詹欣豪，何小亚.数学归纳法教学的困难、对策与价值[J].中学数学杂志（曲阜），2014（09）.

【責任编辑  郭振玲】

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