“回顾与反思”在数学分析解题中的应用

摘 要：解题是数学学习的重要组成部分。波利亚把解题的思维过程分为四个步骤，其中最重要的，也是最容易忽视的步骤是“回顾与反思”。在数学分析中用具体的例子阐述了“回顾与反思”在优化解题过程、发展解题策略、发现数学结论的重要作用。

关键词：数学分析 波利亚 回顾与反思

一、引言

《数学分析》是数学专业的最重要的三大专业基础课程之一，是后继课程的阶梯，是培养学生逻辑推理、抽象思维、提升专业素质的钥匙。《数学分析》从提出到形成完整的理论，经过了数学家的猜测、试验、归纳等曲折漫长的过程，其中蕴含的数学思想方法是今后开展研究工作的基础。《数学分析》习题课是数学分析教学过程中的重要环节。然而，近年来这一环节在逐渐被削弱，由于没了高考的压力，学生解题积极性不高，许多教师也错误地将习题课教学理解为作业或课后习题的讲解。学生解题仅仅是被动模仿教师传授的解题方法和技巧，生搬硬套，甚至出现严重的抄袭现象，这对于数学专业学生创新能力的培养是十分不利的。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中明确指出，高等教育要“着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才。……支持学生参与科学研究，强化实践教学环节。……充分调动学生学习积极性和主动性，激励学生刻苦学习，增强诚信意识，养成良好学风。” “回顾与反思”是研究性学习的一种方式，它有助于培养学生发现问题、解决问题的能力，对培养高素质研究型创新人才具有重要意义。

二、“回顾与反思”的重要意义

乔治·波利亚（George Polya，1887—1985），美籍匈牙利著名数学家和数学教育家，他致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。本书的核心是把解题的思维过程简化为一张表，包括“理解题目”、“拟定方案”、“执行方案”、“回顾与反思”四个步骤。由于解題者和教师往往更加关注如何找到解决问题的思路和方法，因此只关注解题表 中的前三个步骤，而忽略了最具启发意义的第四步。波利亚指出：“即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做。他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的阶段。通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。”在数学解题学习中，学生的主要任务并不是解题，而是学习解题，因此教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”，而在于“学解”。从表面上看，学生不会解题是不会“拟定方案”，然而，实质是没有在“理解题目”和“回顾与反思”上下功夫的结果。以欧几里得方式表现出来的数学是一种系统的演绎科学。通过“回顾与反思”，可以看到数学的第二个侧面，也就看到了“处于发现过程中的数学”。近年来，不少学者把研究解题的重点放在了中学数学教学中，而忽略了对大学数学的指导。研究者结合自己长期担任数学分析课程的教学实际，并通过实例说明解题后“回顾与反思”对拓展解题思路、优化知识结构、提出数学问题及发现数学结论的重要作用。

三、回顾与反思在计算题中的应用

例1 求极限

在刚刚学完洛必达法则之后，学生很自然地想到以下解法：

解法一 原式

而

故 原式

回顾解法一，考察解答中那些比较冗长的部分并尽可能使它们简短些。发现使用洛必达法则求解极限时非常繁琐，有没有更加简洁的方法呢？求函数极限时，什么方法可以简化计算呢？是的，可以尝试等价无穷小替换来优化解法如下：

能不能用其他方法解这道题目？回到题目中去！你以前见过这个题目吗？或者见过类似的题目吗？也就是说在哪里见过幂指函数的极限问题？是的，在学习重要极限时，解过类似题目。于是，产生了如下解法。

解法二

回顾解法二，发现此种解法的关键是使用了重要极限，上式所作的变形就是为了“凑”出其结构，最终的指数一定会变成与的乘积，于是问题的关键转化成了求与乘积的极限。那这个结论是不是具有普通性呢，也就是说是否有这样的命题成立：若，，且，则.事实上，不难证明此结论成立，具体做法略。

没有任何一个题目是彻底完成了的。在体验到了数学带来的乐趣以后，学生的潜力会被激发出来，以下解法就是研究者的学生给出的。

解法三

四、回顾与反思在证明题中的应用

例2 设在二次可导，且，求证：在单调下降。

分析 要证在单调下降，只需证明导数，为此，令，则只需证。

证法一 令，对求导得，又，则，即

于是，，所以在单调下降。

回顾证法一，我们是从问题的结论出发，反复利用函数单调性的第一判别法得到所求结论。你要从不同的方面来考虑题目，并且寻找与你过去所获知识之间的联系。表明函数本身具有什么性质？你在哪里见过用二阶导数刻画函数的性质？是的，凸函数！试着利用相关结论，可以得到如下证法。

证法二 意味着是凸函数，从而曲线在任一点切线的下方，即，有

，

特别地，令时，，即。

回顾题目及上述两种解法，证明过程中都是用到了以前学过的方法和结论，那么这些方法是怎么想到的呢？是不是毫无根据呢？当然不是！我们要把题设和结论联系起来！根据分析我们已经把结论转化为要证明，除了上述两种方法，我们还学过哪些知识可以把题设和结论联系起来呢？重新考虑以前所获知识，产生以下两种解法。

证法三 由微分中值定理，使得

（因为单调减少）

证法四 由泰勒公式，，有

由易知，即。

回顾上述四种解法，都是基于证明而得到题目中的结论。在这个证明过程中，起到了关键的作用，也就是它决定了的符号。于是，我们可以思考：若，能否得到在单调增加？事实上，我们可以得到一个新的题目：设在二次可导，且，求证：在单调增加。证法略。

五、结语

数学分析体系完整，知识点之间联系紧密，“回顾与反思”可以帮助学生找到这种联系，并自然地把它纳入到所获知识，优化知识结构。“回顾与反思”还可以使学生认清题目的本质，形成新的解题策略，提高学习数学分析的兴趣和积极性。“回顾与反思”是一种积极的思维活动和探究行为，是发现、创造的源泉，它能让学生体验到如何发现數学结论，体验到真正“做数学”的快乐。学生学习的积极性一次一次地被晦涩难懂的数学符号和定理击垮，就是缺乏这种“回顾与反思”的意识和能力，不知道自己也有提出新问题进而产生新发现的能力。如果学生在我们的课堂上产生了对数学的憎恶，那当他们回到学校就会教出憎恶数学的下一代。作为一名数学分析教师，必须努力创造条件让学生寻找到数学问题与其他问题之间的联系，帮助学生由被动地回答教师所提出的各个问题逐步过渡到学生主动提出问题，“回顾与反思”可以帮助教师完成这个目标。正如波利亚所说：“无论如何，如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯，你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识，并且将会提高你的解题能力。”

参考文献：

[1]G·波利亚. 涂泓，冯承天译.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]涂荣豹.数学解题的有意义学习. 数学教育学报. 2001，10（1）：15—19.

[3]徐彦辉. 数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出—探索一种通过“回顾与反思”来提出数学问题的模式与方法[J]. 数学教育学报，2015，24（1）：9—12.

[4]王宏宾，罗增儒.例谈解题回顾的意义[J].数学教学，2007，（5）：3.

[5]刘玉莲，傅沛仁，林玎等. 数学分析讲义（第五版）（上册）[M].北京：高等教育出版设，2008.

[6]向昭银，黄廷祝.研究型教学融入数学分析习题课的教学原则[J].大学数学.2012，28（4）：151—154.

[7]葛仁福.基于研究性学习的数学分析教学实践[J].数学教育学报，2013，22（1）：81—83.

作者简介：黄英芬（1983—）女。硕士。副教授。研究方向：数学教育，传染病动力学模型。

※基金项目： 2016年贵州省本科教学工程项目“卓越数学教师培养计划”（编号2016SJZYRC001）.

推荐访问:数学分析 解题 反思 回顾