数学专业《复变函数》研究型教学初探

摘要：《复变函数》是数学专业学生的一门专业基础课，本文基于对该课程研究型教学的探索和实践，从教学内容和教学方法，以及增加课外上机操作项目等方面对复变函数课程教学进行改革探索，并给出若干具体的实践案例。

关键词：复变函数；研究型教学；教学内容；教学方法

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）49-0092-02

一、引言

近年来，以训练、提高学生的创新能力和创新思维，加强创新型人才培养为目的的研究型教学模式在我国很多高校得到提倡和实践。这种教学模式起源于20世纪初美国的中小学课程，1998年美国博耶委员会明确提出把研究型教学作为本科教学的要求，形成了研究型教学模式[1，2]。研究型教学的具体实施规则并不统一，在某种程度上取决于对“研究”的理解[1，2]。但形成普遍共识的是，研究型教学模式是以知识为依托，把能力培养作为主要目标，在教学过程中引导学生发现问题，思考并解决问题，达到锻炼思维和培养能力的教学模式。

复变函数是数学专业的一门专业基础课程，在整个课程体系中有十分重要的作用。一方面，复变函数在具有承上启下的功能。复变函数作为数学分析的后继课程，是以实函数为基础而产生和发展起来的，很多定义、性质与实函数既有相似之处，但又与实函数有本质性的区别。同时，复变函数是学习数理方程、泛函分析等课程的基础。另一方面，復变函数的理论和方法渗透到多个数学分支和其他应用学科，如物理学相关领域。如何让学生学好复变函数这门基础课程，是教师们都非常关心的问题。本文作者结合自己在教学中的体会，对复变函数研究型教学进行了探讨。

二、复变函数研究型教学的几点尝试

（一）学生为主体、教师为主导的“大班上课、小班研讨”教学形式

教师和学生是教学过程的双重主体。教学过程不仅仅是老师的传道授业，更应该针对学生主动学习而无法解决问题时的解惑。从学生来说，不思考就无法发现问题，不能问出有价值的问题。从教师来说，学生人数多，在有限时间内仅能回答少量同学问题，绝大多数同学难以与教师建立直接的沟通和联系。传统的教学模式，学生只是被动地接受教师课堂灌输的大量理论和方法，即使参与教学过程，也只是简单地回答教师的问题。课堂上始终是消极的学习情绪和被动的学习地位。大部分学生的学习积极性和创造性受到了某种程度的抑制。在大学阶段，同学们的思维正处于活跃和发达的阶段，心智已经成熟，具备一定的自学能力，发现问题和解决问题是可行的。所以作者改变以往教学模式，实行“大班上课、小班研讨”的形式授课，即将学生以30人左右分为数个小班，教学内容中的大部分、主要是理论性强的部分内容由老师在课堂讲授，部分简单的教学内容由学生在老师指导下自学，然后在小班课堂上进行研讨。

例如：在讲授留数定理和留数的求法时，我们只介绍了留数的定义，而把留数定理的证明和留数计算公式的推导这些工作提前布置给学生，让学生自愿报名在研讨课上讲授，结果发现教学效果良好。表现在以下三个方面：第一，课堂气氛轻松活跃。因为是学生自己在课堂上讲授，其他同学没有距离感，不会感觉学习枯燥乏味，而是像参加活动一样轻松愉快地去接受和聆听。第二，加深了对知识的情景记忆。多位讲课的学生轮流上台讲解时，其讲解风格都有鲜明的个人特征，使其他学生把相应部分知识与讲解人的言谈举止联系起来，有情景记忆的因素在内，加深了对知识的理解和记忆。第三，锻炼了学生的探索能力和表达能力。

（二）加强经典理论的历史性教学，传播数学文化

英国数学家J.Fauvel认为数学史可以改变学生的学习观、激发学生的学习兴趣，对于数学教学有较为重要的提升作用[3]。渗透了数学史的数学教学，学生获得的不仅是数学知识，还有过程、方法的体验及情感、科研态度、价值观的教育。数学专业复变函数课程中理论较多，只介绍书上的内容就很容易让学生感觉枯燥无趣。为此，本文作者在复变函数教学中经常针对各节要讲授的经典定理，介绍相关数学家百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神与无与伦比的数学贡献，学生可以从前人对科学的探索中汲取营养，获得鼓励，增强对科学研究的向往之情。譬如，在讲授幂级数收敛的Abel定理[4]时，我们在课堂上简单介绍了数学家Able的生平遭遇和他对数学发展的重大贡献，激发了学生对分析学的研究兴趣，也了解了数学史的一段发展过程，感受到数学文化的魅力。

（三）“承前启后”，对比式教学

复变函数是数学分析的后继课程，复变函数中的许多概念与数学分析中的内容类似，但又有区别，我们把二者进行对比，指出差别，有助于学生理解所学内容。例如复变函数中函数在一点处极限的定义和数学分析中一元函数极限的定义在形式上是一致的，但复变函数极限的定义要求更苛刻。这导致了复变函数有许多独有的性质和定理，这些性质和定理就是复变函数与数学分析的不同之处，是复变函数自己独有的魅力，也是学生学习的重点和难点。

另一方面，复变函数又是数理方程的先修课程，复变函数和数理方程中有相似的结论和定理。例如复变函数中有解析函数的柯西积分表达式和刘维尔定理，在数理方程中调和函数也有类似的性质。讲授这部分内容时，可以引导学生将教材中的定理和结论进行引申推广，这是一个发现的过程，更是一个收获惊喜的过程，既可以培养学生的研究意识和研究能力，又可以让学生对后续课程中的内容有预先的了解，认识各门课程内容之间的联系和差异。

（四）增加课外上机操作，将应用融入课程教学

众所周知，学以致用是激发学生学好一门课程的动力。虽然数学是自然科学的皇冠，但是基础课程教材涉及到的应用实例相对较少，因为教材本身更侧重于理论的阐述。因此同学费尽心力学习了理论、熟悉了定理及公式的推导过程，却不知该如何应用，会使学生对这门课程感觉枯燥乏味，逐步丧失学习兴趣。在复变函数这门课程中重视应用教学是非常必要的。Matlab软件具有强大的数值计算和图形处理能力，且易学易用，借助Matlab软件进行复变函数运算[5]，把数学实验融入复变函数课程教学是一种新的教学模式。例如，在计算复数的实部、虚部或辐角时，用Matlab数学软件计算时，只需调用real（）、image（）或angle（）等简单函数命令即可，极大缩短运算时间。又比如，复变函数可以转化为初等函数，利用Matlab软件进行三维曲面绘图，直观观察函数图形，帮助理解函数的性质，加深了对理论知识的理解。

（五）适当运用多媒体提高教学效率和教学质量

当前，多媒体教学已经成为高校课堂的主流。但复变函数这门课程，理论性强、概念抽象、证明复杂，如果过度利用多媒体演示证明和推导，给学生思考和回味的时间就会很少。那么多媒体教学就不适合复变函数吗？当然不是。对于有些内容，比如复球面的建立这一节，利用多媒体演示动态的测地投影图形，用直观的图形演示远比只是在黑板上用粉笔演示要更有趣和容易理解。

三、结束语

通过数年的复变函数研究型教学实践，我们也深刻认识到，研究型教学确实是一种全方位、立体式的教学方式，不能仅靠几点教学改革实践就能完全做好。复变函数的研究型教学改革是一个需要不断探索的过程，需要教师全身心的投入，在教学内容和教学方法上认真琢磨、合理安排，在培养学生的推理、归纳、演绎和创新能力上下功夫，让学生感受到复变函数课程的魅力。复变函数的研究型教学的探索仍需要不断的深入。

参考文献：

[1]汪霞.大学研究型教学中的研究[J].教育发展研究，2007，（22）：43-46.

[2]卢德馨.关于研究型教学的进一步探讨[J].中国高等教育，2004，（21）：24-25.

[3]李文娴.浅析大学数学教学存在的问题及对策[J].中国成人教育，2014，（18）：182-184.

[4]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]石辛民，翁智.复变函数及其应用[M].北京：清华大学出版社，2012.

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