高等代数在数学分析极值问题中的应用

摘要：本文以高等代数中的二次型与特征值来分析和解决多元函数的极值问题，揭示高等代数与数学分析这两门基础的数学学科之间的联系，来为问题的解决提供一定的参考和借鉴。

关键词：高等代数；数学分析；极值问题

一、 引言

线性代数中的行列式和矩阵：行列式代表一个数，而矩阵仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵能够把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量，这样能够彻底解决一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等理论问题。下文就多元函数的极值问题展开讨论，分析高等代数在数学分析极值问题的应用。

二、 相关定理

1. 实对称矩阵A是正定，当且仅当矩阵A的顺序主子式全大于零。

2. 實对称矩阵A是负定，当且仅当矩阵A的顺序主子式负正相间，即

（-1）ia11a12…a1i

a21a22…a2i

…………

ai1ai2…aii>0，i=1，2，…，n。

（一） 利用二次型求多元函数的极值

对于一个实值多元函数f（x1，x2，…，xn），如果函数f的二阶偏导数存在，那么矩阵

2fx212fx1x2…2fx1xn

2fx2x12fx22…2fx2xn

…………

2fxnx12fxnx2…2fx2n

称为黑塞矩阵，记作H（f）。

定理：设y=f（x1，x2，…，xn）是在P0=（x01，x02，…，x0n）点处有连续的二阶偏导数的函数，并且gradf（p0），记f在点P0处的黑塞矩阵为Hf（p0）。

（1）当矩阵H f（p0）是正（负）定矩阵，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0处取得极小（大）值；

（2）当矩阵H f（p0）是不定矩阵，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0处没有极值。

证明：由f（x1，x2，…，xn）处在P0处的泰勒公式有：

f（x1，x2，…，xn）=f（p0）+gradf（p0）ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（（|Δx|）2）。

其中Δx=x1-x01………xn—x0n，因为gradf（p0）=0，所以f（x1，x2，…，xn）-f（p0）=121ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（|Δx|2）。

所以，如果矩阵Hf（p0）是负定矩阵，二次型ΔxT·Hf（p0）Δx是负定二次型，于是在|Δx|很小时，y=f（x1，x2，…，xn）在点p0处取极大值。

而如果Hf（p0）是不定矩阵时，y=f（x1，x2，…，xn）在点p0处没有极值。

（二） 利用特征值求多元函数的极值

定理：设A=（aij）为n阶实对称方阵，证明多元函数f（x）=∑ni=1∑nj=iaijxixj在单位球面∑ni=1a2i上的最大、小值分别是矩阵A的最大、小特征值。其中aij=aij∈R（i，j=1，2，…，n）。

分析：本命题可转化为高等代数中的二次型f（x1，x2，…，xn）=X′AX在X′X=1条件下的最大（小）值问题，然后利用特征值理论来解决。

解：令X=x1x2…x3，A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，因为aij=aij∈R，所以A为实对称矩阵，则f（x1，x2，…，xn）=X′AX是一实二次型。

设λ1，λ2，…，λn是A的特征根，且λ1≤λ2≤…≤λn，由于矩阵A实对称，则存在正交阵T使T′AT=10…0

02…0

…………

00…n，作正交变换X=TY，可有

f（x）=λ1y21+…+λ1y2n，那么对于x∈R均有λ1X′X≤X′AX≤λnX′X，特别地当X′X=1时，有λ1≤X′AX≤λn，所以f（x）在∑ni=1x2i=1上的最大值小于或等于λn，最小值大于或等于λ1.

设ɑ1，ɑ2分别是属于λ1，λn的特征向量，则Aɑ1=λ1ɑ1，Aɑn=λ1ɑn，ɑ1≠0，ɑn≠0，那么有ɑ1Aɑ1=ɑ1（λ1ɑ1）=λ1 ɑ′1ɑ1，则λ1=a′1Aɑ1α′1a1，同理可得λn=a′1Aɑnα′1an，所以：f（x）在单位球面上的最大、小值分别是矩阵A的最大、小特征值。

三、 结束语

希望通过不断地探究数学分析和高等代数这两门课程之间的联系，促进相互之间解题方法的融会贯通，为高等代数和数学分析的学习者和研究者提供更可靠的参考。

参考文献：

[1] 旷雨阳.高等代数在数学分析极值问题中的应用[J].安顺学院学报，2016，（06）：113-114+133.

作者简介：刘芸，贵州省贵阳市，贵阳学院。

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