无穷大导数几何解释的新论述

摘 要：本文研究了函数在一点处的导数为无穷大的几何解释的新论述问题.首先，指出了现行微积分教程中的一个漏洞，目前的微积分教程都认为：当函数在在一点处的导数为无穷大时，相应的曲线在该点处有垂直切线.实际上，这种观点是错误的.然后，纠正了这一错误观点，并给出了新的正确论述。

关键词：导数 无穷大 几何解释 广义函数 单位脉冲信号

中图分类号：G40-03 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）01（b）-0206-02

函数的导数不仅是个重要的数学问题，同时，它也在当代科学和工程技术领域扮演了极其重要的角色，具有十分广泛的应用，在科学与技术中占据不可或缺的地位，更是研究连续动态系统绕不过的一个对象，许多文献中都有相关的论述和结论。

导数是我们运动地看问题的重要工具，这一重要数学概念及其思想方法在实际应用中也得到了进一步的延伸和发展。文献[1]提出了基于导数光谱信息合意空间的标度集的构建策略和方法，新方法充分利用了各种导数光谱信息空间，改进了Kennard–Stone标度集构建的策略，同时，也增强了多变退化模型的预测性能。文献[2]探索了磁异常模量垂向一阶导数的特征及应用问题，提出了磁异常模量的垂向一阶导数的处理方法，研究了二维异常体和三维异常体与异常体的磁化方向的关系，所提出的方法相比磁异常模量具有更小的中心偏移量和相对峰值，与其他磁异常转换模量相比，新方法具有占用的存储空间小且便于计算等优点。由此可见，函数的导数不仅是个重要的基础概念，它在现代科学技术和工程领域中的功用也是非常强大的。同时，工程领域中导数为无穷大的情形也经常遇到，虽然这是一个精典的问题，但有一种情形长期以来一直被大家所忽视。现行的高等数学和数学分析教材[3-4]对于平面曲线的垂直切线问题的认识是错误的，它们简单地认为函数在一点处的导数为无穷大时，相应的曲线在该点处就有垂直于横坐标轴的切线，实际上，这一观点是错误的，下面将就这一问题展开研究。

如果在处的导数是无穷大，一般文献都认为相应的曲线在处有垂直于轴的切线=。事实上，这种观点是有问题的。看下述例子：

讨论函数

（1）

在x=0處的导数。

依题设，，

，故

上述函数的图象在=0处都没有切线，直线=0不是它们的切线，因为它不符合曲线的切线的特征。我们从力学角度揭示一下切线的特征，如一质点沿一条光滑曲线移动，当质点在切点处脱离曲线时，它应沿曲线的切线方向飞出。由此可见直线=0不是上述曲线在（0，0）处的切线，这个例子也说明文献[3-4]等许多文献关于这一问题的论述是错误的。

综上可见，关于函数在一点处的导数为无穷大与垂直切线问题，大家还存在认识误区，本文将就这一问题展开讨论，给出曲线的垂直切线的正确定义，并进一步研究无穷大导数与单位脉冲信号之间的关系问题。

1 无穷大导数几何解释的新论述

在这一部分中，我们将就曲线的垂直切线问题重新予以探讨，对于函数，并不是当时，相应的曲线就有垂直切线，导数为无穷大不是曲线具有垂直切线的充分条件.下面给出曲线的垂直切线的新的论述。

命题.设函数在的某邻域内连续，在的某去心邻域内可导，且满足

，

那么，直线=则为曲线在处的切线。

例如函数在=0近旁连续，在=0的去心邻域内可导，且有，故在=0处的有垂直切线=0。

当函数在一点处的导数为无穷大时，有一种情况与单位脉冲信号关系密切。在这一部分中将对这一问题展开讨论。

在实际工程问题中，有许多物理现象表现出一种脉冲特征，它们的量值仅在一个极短的时间内甚至在某一点处出现，如力学中的瞬时冲击力、质点的质量、电学中的脉冲电流和自然界中的闪电等等，这类物理现象需要用一个时间极短，但取值很大的数学模型来描述。单位脉冲信号正是为了描述这类问题和解决相关问题而引出的，单位脉冲信号在信号的频谱分析、航空等许多工程领域中的地位越来越重要、应用也越来越广泛[5]。

单位脉冲信号涉及到无穷大，不能用常规意义下“值的对应关系”来定义，起初并不被数学家们所接受，当今它已经成为许多理论数学家和应用数学家必备的工具了。它实际上是一种广义函数，是一种定义在某基本空间上的线性泛函.在这里，我们采用弱极限来定义单位脉冲信号。

定义.设，如果满足条件

（2）

其中即的弱极限为，那么就

称为单位脉冲信号或单位脉冲函数。

称为单位阶跃函数，它的导数是单位脉冲信号，即。可在通常意义下单位阶跃函数在t=0处并不可微，这样就遇到了困难，引进单位脉冲信号之后这一困难便迎刃而解了。我们知道，但单位阶跃函数在t=0处并无垂直切线。

无穷大导数在单位脉冲信号中扮演了重要角色，而单位脉冲信号在工程领域又扮演了至关重要的角色。因此，研究无穷大导数对于许多工程问题意义重大。

2 结语

本文指出了现行高等数学教程中的一个漏洞，目前的高等数学教材都认为：当函数在在一点处的导数为无穷大时，相应的曲线在该点处有垂直于横坐标轴的切线。本文通过实例佐证了这一命题的错误性，然后，给出了这一问题的新的正确论述。同时，讨论了无穷大导数与单位脉冲信号的关系问题。本文所给出的示例说明了我们的论述的正确性。

参考文献

[1]Li Zhigang，Liu Jiemin，Shan Peng，et al.Strategy for constructing calibration sets based on a derivative spectra information space consensus[J].Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems，2016，156（15）：7-13.

[2]刘圣博，陈超，胡正旺.磁异常模量垂向一阶导数的特征及应用[J].地球物理学报，2011，26（2）：647-653.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[4]周运明，尚德生.数学分析[M].北京：科学出版社，2008.

[5]徐天成，谷亚林，钱玲.信号与系统[M].3版.北京：电子工业出版社，2011.

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